Soient \(E,F\) deux espaces métriques. On suppose \(E\) complet, et on considère une suite \((f_n)_n\) d'applications continues de \(E\) dans \(F\) qui convergent vers \(f\).
Soit \((F_n)\) une suite de fermés tels que \(E=\bigcup F_n\). On sait que \(\bigcup \mathring F_n\) est dense dans \(E\).
Pour tout \(\varepsilon\gt 0\) et pour tout \(n\in{\Bbb N}\), on pose $$F_{n,\varepsilon}=\{x\in E\mid \forall p\geqslant n,d(f_n(x),f_p(x))\leqslant\varepsilon\}$$
On sait que \(\Omega_\varepsilon=\bigcup_{n\in\Bbb N}\mathring{F_{n,\varepsilon} }\) est dense dans \(E\).
En déduire que l'ensemble des points de continuité de \(f\) est dense dans \(E\).
On pose l'intersection des \(\Omega_\varepsilon\) (avec \(\varepsilon\in{\Bbb Q}^*_+\) pour avoir qqch de dénombrable) \(\to\) c'est dense d'après le Théorème de Baire .
Si \(x\in\Omega_\varepsilon\), alors il est dans un \(\mathring F_{n,\varepsilon}\), ce qui donne un résultat de convergence pour un \(\varepsilon\) particulier.
On peut faire tendre \(p\to+\infty\) dans la relation, ce qui nous donne le fait que la distance entre \(f_n(x)\) et \(f(x)\) est majorée par \(\varepsilon\).
On peut utiliser la continuité de \(f_n\) pour dire que la distance entre \(f(x_0)\) et \(f(x)\) est majorée par \(3\varepsilon\) pour tout \(x\) à la fois dans le voisinage de continuité de \(f_n\) et dans le voisinage donné par \(\mathring F_{n,\varepsilon}\).
Si \(x\) est dans \(D\), alors c'est vrai pour tout \(\varepsilon\) positif.
On conclut par la densité de \(D\).
